Question

各项均为正数的数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=a_n²+a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c为实数，如果对任意的正整数n，不等式

an+2

-

an

＞

c

an+2

恒成立，求证：c的最大值为1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n与s_n的关系和题意得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由a_n，＞0的a_n-a_n-1-1=0，判断出数列{a_n}是等差数列，根据等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）和分子有理化化简

an+2

-

an

＞

c

an+2

，得到c＜

2

1+ 1- 2 n+2

对对任意的正整数n恒成立，再求出

2

1+ 1- 2 n+2

的范围，即可证明结论．

解答： 解：（1）由题意得，2S_n=a_n²+a_n，且a_n，＞0，①
当n=1时，2S₁=a₁²+a₁，解得a₁=1或a₁=0（舍去），
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，②
①-②得，2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
化简得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又a_n+a_n-1，＞0，所以a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1，
所以数列{a_n}是以1为首项、公差的等差数列，
则a_n=1+（n-1）=n；
证明：（2）由（1）得，

an+2

-

an

＞

c

an+2

为：

n+2

-

n

＞

c

n+2

，
即c＜

n+2

（

n+2

-

n

）=

n+2 ( n+2 - n )( n+2 + n )

n+2 + n

=

2 n+2

n+2 + n

=

2

1+ n n+2

=

2

1+ 1- 2 n+2

，
因为

1- 2 n+2

＜1，所以

2

1+ 1- 2 n+2

＞1，
因为不等式

an+2

-

an

＞

c

an+2

对任意的正整数n恒成立，
即c＜

2

1+ 1- 2 n+2

对任意的正整数n恒成立，
所以c≤1，则c的最大值为1．

点评：本题考查数列a_n与s_n的关系，等差数列的通项公式，不等式恒成立求参数范围转化为求范围问题，考查探索、分析及论证的能力．