Question

已知向量

a

=（cos（-θ），sin（-θ）），

b

=（cos（

π

2

-θ），sin（

π

2

-θ）），设

m

=

a

+（x²+3）

b

，

n

=-y

a

+x

b

，且满足

m

⊥

n

．
（1）写出y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）设函数g（x）=f（x）-ax在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）先根据已知条件求出

a

，

b

，而

m

⊥

n

，所以有

m

•

n

=0，要求

m

•

n

先求出

a

2=

b

2=1，

a

•

b

=0，这样即可得到

m

•

n

，从而得到y=x³+3x；
（2）先求g（x）=x³+（3-a）x，g′（x）=3x²+3-a，根据已知条件知3x²+3-a≤0在（-1，1）上恒成立．所以a≥3x²+3在（-1，1）上恒成立，因为x∈（-1，1）时，3x²+3＜6，所以得出a≥6．

解答： 解：（1）由已知

a

=(cosθ，-sinθ)，

b

=(sinθ，cosθ)；
∴|

a

|=|

b

|=1；
∴

a

•

b

=cosθsinθ-sinθcosθ=0；
∵

m

⊥

n

；
∴

m

•

n

=[

a

+(x2+3)

b

]•[-y

a

+x

b

]=-y

a

2+x(x2+3)

b

2+[x-y(x2+3)]

a

•

b

=-y+x（x²+3）=0；
∴y=x³+3x；
即f（x）=x³+3x；
（2）g（x）=f（x）-ax=x³+（3-a）x；
g′（x）=3x²+3-a；
∵函数g（x）在（-1，1）上单调递减；
∴g′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，即：
3x²+3-a≤0，a≥3x²+3在x∈（-1，1）上恒成立；
∵x∈（-1，1）时，3x²+3＜6；
∴a≥6；
∴a的取值范围为[6，+∞）．

点评：考查根据向量坐标求向量长度，向量数量积的坐标运算，以及非零向量垂直的充要条件，函数单调性和函数导数符号的关系．