Question

给出下列命题：
（1）存在实数α，使sinαcosα=1
（2）存在实数α，使sinα+cosα=

3

2

（3）函数y=sin（

3π

2

+x）是偶函数 
（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，由于sin2α≤1，可知：不存在实数α，使得sin2α=2；
（2）由于sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，即可判断出；
（3）函数y=sin（

3π

2

+x）=-cosx是偶函数；
（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，即可判断出．

解答： 解：（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，∵sin2α≤1，∴不存在实数α，使得sin2α=2，因此不正确；
（2）∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，因此不存在实数α，使sinα+cosα=

3

2

，故不正确；
（3）函数y=sin（

3π

2

+x）=-cosx是偶函数，正确；
（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，则sinα＞sinβ不成立，因此不正确．
其中正确命题的序号是（3）．
故答案为：（3）．

点评：本题综合考查了三角函数的性质、倍角公式、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．