Question

已知抛物线y²=4x，过点（0，-2）的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若

OA

•

OB

=4，求直线AB的方程．
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点（n，0），求n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的方程为y=kx-2，k≠0，代入y²=4x中得k²x²-（4k+4）x+4=0，由

OA

•

OB

=4，能求出直线AB的方程．
（2）设线段AB的中点坐标为（x₀，y₀），由（1）知x0=

x1+x2

2

=

2k+2

k2

，y0=kx0-2=

2

k

，所以线段AB的垂直平分线的方程为y-

2

k

=-

1

k

（x-

2k+2

k2

）．由此能求出n的取值范围．

解答：解：（1）设直线AB的方程为y=kx-2，k≠0，
代入y²=4x中得k²x²-（4k+4）x+4=0，①
设Ax₁，y₁），B（x₂，y₂），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k+4

k2

，x1x2=

4

k2

，
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）
=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=-

8

k

．
∵

OA

•

OB

=（x1 ，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=

4

k2

-

8

k

=4，
∴k²+2k-1=0，
解得k=-1+

2

．
又由方程①的判别式△=（4k+4）²-16k²=32k+16＞0，
得k＞-

1

2

．
∴k=-1+

2

，
∴直线AB的方程为(

2

-1)x-y-2=0．
（2）设线段AB的中点坐标为（x₀，y₀），
则由（1）知x0=

x1+x2

2

=

2k+2

k2

，
y0=kx0-2=

2

k

，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-

2

k

=-

1

k

（x-

2k+2

k2

）．
∵线段AB的垂直平分线交x轴于点（n，0），
∴令y=0，得n=2+

2k+2

k2

=

2

k2

+

2

k

+2=2（

1

k

+

1

2

）²+

3

2

，
又∵k＞-

1

2

，且k≠0，∴

1

k

＜-2，或

1

k

＞0，
∴n＞2（0+

1

2

）²+

3

2

=2．
∴n的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题考查直线方程的求法，考查n的取值范围的求法．具体涉及到抛物线的简单性质、直线方程、根的判别式等基本知识，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．