Question

{a_n}各项均为正的等比数列，已知a₃+a₄-a₂-a₁=8，求a₅+a₆+a₇+a₈最小值．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：导数的概念及应用,等差数列与等比数列

分析：可判数列{a_n+a_n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a_n+a_n+1}的公比为x，a₁+a₂=a，则x∈（1，+∞），a₃+a₄=ax，结合已知可得a=

8

x-1

，代入可得y=a₅+a₆+a₇+a₈=ax²+ax³=

8(x3+x2)

x-1

，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．

解答： 解：∵数列{a_n}是各项均为正的等比数列，
∴数列{a_n+a_n+1}也是各项均为正的等比数列，
设数列{a_n+a_n+1}的公比为x，a₁+a₂=a，
则x∈（1，+∞），a₃+a₄=ax，
∴有a₃+a₄-a₂-a₁=ax-a=8，即a=

8

x-1

∴y=a₅+a₆+a₇+a₈=ax²+ax³=

8(x3+x2)

x-1

，x∈（1，+∞），
求导数可得y′=

16x(x2-x-1)

(x-1)2

，令y′＞0可得x＞

5 +1

2

，
故函数在（1，

5 +1

2

）单调递减，（

5 +1

2

，+∞）单调递增，
∴当x=

5 +1

2

时，y=a₅+a₆+a₇+a₈取最小值：44+20

5

．

点评：本题考查等比数列的性质，涉及导数的应用，属中档题．