Question

如图，已知点A（4，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，M为BC中点．
（Ⅰ）求该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）求BC所在直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由点A（4，8），在抛物线y²=2px上解得p=8，
∴抛物线的方程为y²=16x，焦点F的坐标（4，0）
（Ⅱ）∵△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合
由B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）得：

4+x1+x2 3 =4 8+y1+y2 3 =0

∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=-8，M点的坐标为（4，-4）
由B，C在抛物线y²=16x上，

y12=16x1 y22=16x2

两方程作差y₁²-y₂²=16（x₁-x₂）
∴直线BC的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

16

y1+y2

=

16

-8

=-2
∴BC所在直线的方程为y+4=-2（x-4），即2x+y-4=0