Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，．

（Ⅰ）证明：点在底面上的射影必在直线上；

（Ⅱ）若二面角的大小为，，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理与性质定理证明；

（Ⅱ）以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系．利用向量法求解可得结果．

（Ⅰ）证明：连接，如图：

因为，，，

所以平面

所以平面平面．

过点作，

则由面面垂直的性质定理可知平面．

又平面，所以与重合，

所以点在底面上的射影必在直线上．

（Ⅱ）由，，得是二面角的平面角，即．

在平面内，过点作，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

在中，由，，得，

所以，

又，所以是边长为2的等边三角形，

则，，，，

所以．

由，，

设平面的法向量为，

则，即，所以，

取，则

所以平面的一个法向量为．

设与平面所成角为，

故．