如图，在棱长为
的正方体
中，点
是棱
的中点，点
在棱
上，且满足
.
（1）求证：
；
（2）在棱
上确定一点
，使
、、、四点共面，并求此时
的长；
（3）求几何体
的体积.
（1）详见解析；（2）
；（3）
.
解析试题分析：（1）连接
，先由正方体的性质得到
，以及
平面
，从而得到
，利用直线与平面垂直的判定定理可以得到
平面
，于是得到；（2）假设四点、、、四点共面，利用平面与平面平行的性质定理得到
，
，于是得到四边形
为平行四边形，从而得到
的长度，再结合勾股定理得到
的长度，最终得到的长度；（3）连接
，由正方体的性质得到
，结合（1）中的结论平面，得到
平面，然后选择以点为顶点，
为高，四边形
为底面的四棱锥，利用锥体的体积公式计算几何体的体积.
试题解析：（1）如下图所示，连接，
由于为正方体，所以四边形为正方形，所以，
且平面，
，
，
平面，
平面，
；
（2）如下图所示，假设、、、四点共面，则、、、四点确定平面，
由于为正方体，所以平面
平面
，
平面
平面
，平面平面
，
由平面与平面平行的判定定理得，
同理可得
，因此四边形为平行四边形，
，
在
中，
，
，
，
由勾股定理得
，
在直角梯形
中，下底
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面CA1D；
(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
求三棱锥B1-A1DC的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．
图①
图②
(1)求证：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图,已知平行四边形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF为正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD的体积.
(1)求V(x)的表达式.
(2)求V(x)的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.
(1)请画出该几何体的三视图；
(2)求四棱锥BCEPD的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示是一几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．
(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
(2)求几何体BEC－APD的体积．
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是菱形，
是矩形，
面
,
．
；
，求四棱锥
的体积．
中，
为线段
的中点,
.
⊥平面
；
到平面
的距离.