Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）PO⊥BC?PO⊥平面ABCD，又AO⊥BD?PA⊥BD
（2）DC⊥PC，∠BCD=90°，∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角
（3）取PB的中点N?CN⊥PB，又平面PBC⊥平面PAB，AB⊥平面PBC?CN⊥AB?CN⊥平面PAB，又MNCD为平行四边形?DM⊥平面PAB?平面PAD⊥平面PAB．

解答：方法一：（1）证明：∵PB=PC，∴PO⊥BC
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD（4分）
（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC?平面PBC，∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角（6分）
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA，PB的中点M，N，连接CN
∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）
∵AB?平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD
MN=

1

2

AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）
方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz（2分）
（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2
在等边三角形PBC中，PO=

3

∴A(1，-2，0)，B(1，0，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，

3

)
∴

BD

=(-2，-1，0)，

PA

=(1，-2，-

3

)
∵

BD

• 

PA

=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-

3

)=0
∴

PA

⊥

BD

，即PA⊥BD（4分）
（2）解：取PC中点N，则

BN

=(-

3

2

，0，

3

2

)
∵

DC

=（0，2，0），

CP

=（1，0，

3

）
∴

BN

•

DC

=（-

3

2

）×0+0×2+

3

2

×0=0

BN

•

CP

=（-

3

2

）×1+0×0+

3

2

×

3

=0
∴

BN

⊥平面PDC，显然

OP

=(0，0，

3

)，且

OP

⊥平面ABCD
∴

BN

、

OP

所夹角等于所求二面角的平面角（6分）∵

BN

•

OP

=(-

3

2

)×0+0×0+

3

2

×

3

=

3

2

，|

BN

|=

3

，|

OP

|=

3

∴cos＜

BN

， 

OP

＞=

3 2

3 3

=

1

2

∴二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA的中点M，连接DM，则M的坐标为(

1

2

，-1，

3

2

)
又

DM

=(

3

2

，0，

3

2

)，

OP

=(1，0，-

3

)（10分）
∴

DM

•

PA

=

3

2

×1+0×(-2)+

3

2

×(-

3

)=0

DM

•

PB

=

3

2

×1+0×0+

3

2

×(-

3

)=0
∴

DM

⊥

PA

，

DM

⊥

PB

，即DM⊥PA，DM⊥PB
∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．

点评：证明面面垂直的方法有两种，一是利用面面垂直的定义，既证两平面所成的二面角为直二面角，二是利用面面垂直的判定定理，既证一个平面过另一个平面的一条垂线．