Question

5．若曲线y=lnx+ax²（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 令y′≥0在（0，+∞）上恒成立可得a$≥-\frac{1}{2{x}^{2}}$，根据右侧函数的值域即可得出a的范围．

解答 解：y′=$\frac{1}{x}$+2ax，x∈（0，+∞），
∵曲线y=lnx+ax²（a为常数）不存在斜率为负数的切线，
∴y′=$\frac{1}{x}+2ax$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥-$\frac{1}{2{x}^{2}}$恒成立，x∈（0，+∞）．
令f（x）=-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（x）=-$\frac{1}{2{x}^{2}}$＜0，
∴a≥0．
故选D．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数单调性与函数最值，属于中档题．