Question

16．锐角三角形△ABC满足b²-a²=ac，则$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$的取值范围为$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系，由锐角三角形的条件求出B的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．

解答 解：∵b²-a²=ac，
∴由正弦定理得，sin²B-sin²A=sinAsinC，
$\frac{1-cos2B}{2}-\frac{1-cos2A}{2}$=sinAsinC，
$\frac{cos2A-cos2B}{2}=sinAsinC$，
由和差化积公式得cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B），代入上式得，
-sin（A+B）sin（A-B）=sinAsinC，
∵sin（A+B）=sinC≠0，
∴-sin（A-B）=sinA，即sin（B-A）=sinA，
在△ABC中，B-A=A，得B=2A，则C=π-3A，
∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{4}$，则$\frac{π}{3}＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosA}{sinA}-\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosAsinB-sinAcosB}{sinAsinB}$
=$\frac{sin（B-A）}{sinAsinB}=\frac{1}{sinB}$，
由$\frac{π}{3}＜B＜\frac{π}{2}$得，sinB∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），则$\frac{1}{sinB}$∈（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$取值范围是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

点评 本题是综合题，考查了正弦定理，三角恒等变换中公式，以及正弦函数的性质，涉及知识点多、公式多，综合性强，考查化简、变形能力，属于中档题．