Question

已知数列{a_n}满足a_n=

n  (n=2k-1) ak  (n=2k)

（k∈N^*），设f(n)=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，则f（2014）-f（2013）=（　　）

• A、4²⁰¹²
• B、4²⁰¹³
• C、4²⁰¹⁴
• D、4²⁰¹⁵

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{a_n}满足a_n=

n  (n=2k-1) ak  (n=2k)

（k∈N^*），可得f(n)=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，f（n-1）=a₁+a₂+…+a2n-1-1+a2n-1．可得f（n）=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=[1+3+…+（2ⁿ-1）]+f（n-1），利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a_n=

n  (n=2k-1) ak  (n=2k)

（k∈N^*），
f(n)=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，f（n-1）=a₁+a₂+…+a2n-1-1+a2n-1．
∴f（n）=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=[1+3+…+（2ⁿ-1）]+f（n-1），
∴f（n）-f（n-1）=

2n-1×2n

2

=4^n-1．
∴f（2014）-f（2013）=4²⁰¹³．
故选：B．

点评：本题考查了递推式的定义、分段函数的意义、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．