Question

12．已知f（x）=ax⁴-4ax³-$\frac{1}{2}$x²+x（x＞0，a＞1），有两个零点x₁，x₂，证明：4＜x₁+x₂＜a+4．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=ax³-4ax²-$\frac{1}{2}x$+1，则x₁，x₂为g（x）的两个零点，利用零点的存在性定理可知g（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（4，$\frac{9}{2}$）上分别存在一个零点，利用不等式的性质即可得出结论．

解答 证明：f（x）=x（ax³-4ax²-$\frac{1}{2}x$+1），设g（x）=ax³-4ax²-$\frac{1}{2}x$+1，
则g（x）在（0，+∞）上有两个零点x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，∵g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$（6-7a）＜0，g（4）=-1＜0，
g（$\frac{9}{2}$）=$\frac{1}{8}$（657a-10）＞0．
∴0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，4＜x₂＜$\frac{9}{2}$，
∴4＜x₁+x₂＜5，
∵a＞1，∴a+4＞5，
∴4＜x₁+x₂＜a+4．

点评 本题考查了函数零点的存在性定理，不等式的性质，属于中档题．