Question

14．已知cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，且β∈（0，$\frac{π}{4}$），α∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{3π}{4}$），求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 由α、β的范围求出$α-\frac{π}{4}、\frac{π}{4}+β$的范围，结合已知求出sin（α-$\frac{π}{4}$）和cos（$\frac{π}{4}$+β）的值，则sin（α+β）的值可求．

解答 解：∵α∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴$α-\frac{π}{4}∈（0，\frac{π}{2}）$，
又cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，∴$sin（α-\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，
又∵β∈（0，$\frac{π}{4}$），∴$\frac{π}{4}+β∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，
sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，∴$cos（\frac{π}{4}+β）=\frac{5}{13}$，
则sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}+β$）+（$α-\frac{π}{4}$）]
=sin（$\frac{π}{4}+β$）cos（$α-\frac{π}{4}$）+cos（$\frac{π}{4}+β$）sin（$α-\frac{π}{4}$）
=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}+\frac{5}{13}×\frac{4}{5}=\frac{56}{65}$．

点评 本题考查两角和与差正弦、余弦，关键是“拆角、配角”思想方法的运用，是中档题．