Question

6．将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向右平移$\frac{π}{6}$个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间$[{0，\frac{aπ}{9}}]$与[2aπ，4π]上均单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $[{\frac{13}{12}，2}）$
• B． $[{\frac{13}{12}，\frac{3}{2}}]$
• C． $[{\frac{7}{6}，2}）$
• D． $[{\frac{7}{6}，3}]$

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．

解答 解：将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos$\frac{x}{2}$的图象；
然后向右平移$\frac{π}{6}$个单位后得到函数g（x）=cos$\frac{x-\frac{π}{6}}{2}$=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{12}$） 的图象，
若函数g（x）在区间$[{0，\frac{aπ}{9}}]$与[2aπ，4π]上均单调递增，则 0-$\frac{π}{12}$=-$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}•\frac{aπ}{9}$-$\frac{π}{12}$≤0，且$\frac{2aπ}{2}$-$\frac{π}{12}$≥2kπ-π，$\frac{4π}{2}$-$\frac{π}{12}$≤2kπ，k∈Z．
求得$\frac{13}{12}$≤a≤$\frac{3}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．