Question

14．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性和极值；
（2）证明：当a＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间和极值；
（2）根据（1）得到函数的最小值，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值．??????
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$，
f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：

x	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（ $\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	$\frac{a}{2}$（1-lna）	递增

所以，f（x）的单调递减区间是（0，$\sqrt{a}$），单调递增区间是（ $\sqrt{a}$，+∞），
故f（x）在x=$\sqrt{a}$处取极小值，
极小值f（ $\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$；
（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（ $\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$，
因为f（x）存在零点，所以$\frac{a（1-lna）}{2}$≤0，从而a≥e．
当a=e时，f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$）上单调递减，且f（ $\sqrt{e}$）=0，
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上的唯一零点．?????
当a＞e时，f（x）在区间（0，$\sqrt{a}$）上单调递减，且f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-a}{2}$＜0，
所以f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点，
综上可知，当a＞0 时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．?

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数的零点问题，是一道中档题．