Question

3．某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为$S_甲^2$、$S_乙^2$，比较$S_甲^2$、$S_乙^2$的大小（直接写出结果，不写过程）；
（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X，求X的分布列和期望；
（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求抽到乙班同学不及格的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图可得$S_甲^2＞S_乙^2$．
（Ⅱ）由题可知X取值为0，1，2．分另求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅲ）由茎叶图可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．设事件A=“从两班这20名同学中各抽取一人，已知有人及格”，事件B=“从两班这20名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”，由此利用条件概率计算公式能求出在已知有人及格的条件下，抽到乙班同学不及格的概率．

解答 解：（Ⅰ）由茎叶图可得$S_甲^2＞S_乙^2$．
（Ⅱ）由题可知X取值为0，1，2．
$P（X=0）=\frac{C_6^2C_4^0}{{C_{10}^2}}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$，
$P（X=1）=\frac{C_6^1C_4^1}{{C_{10}^2}}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^0C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$，
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P（X）	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

所以$E（X）=0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$．
（Ⅲ）由茎叶图可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．
设事件A=“从两班这20名同学中各抽取一人，已知有人及格”，
事件B=“从两班这20名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”．
则在已知有人及格的条件下，抽到乙班同学不及格的概率：
$P（B|A）=\frac{P（A•B）}{P（A）}=\frac{{\frac{20}{100}}}{{1-\frac{30}{100}}}=\frac{2}{7}$．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求示，考查概率的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．