Question

2．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

Answer 1

分析 如图，设正方形的中心为O₁，可得OO₁⊥面ABCD，可得∠OAO₁则OA与平面ABCD所成的角，cos∠OAO₁=$\frac{{O}_{1}A}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

解答 解：如图，设正方形的中心为O₁，可得OO₁⊥面ABCD，
∵正方形ABCD的边长为2，∴${O}_{1}A=\sqrt{2}$，
∵球O的体积为$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{20\sqrt{5}}{3}π$，
∴R=$\sqrt{5}$，即OA=$\sqrt{5}$，
可得∠OAO₁则OA与平面ABCD所成的角，cos∠OAO₁=$\frac{{O}_{1}A}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查了求得体积公式应用，线面角的求解，属于中档题．