Question

19．已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点$P（t，\frac{7}{8}）$到抛物线焦点的距离为1，直线3x-2y+1=0与抛物线交于A，B两点．M为抛物线上的点（异于原点），且MA⊥MB．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求△MAB面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知结合抛物线定义求得p；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的p值可得抛物线方程，联立直线与抛物线可得A，B的坐标，再结合MA⊥MB求得M的坐标，求出|AB|，由得到直线的距离公式求出M到AB的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，$\frac{7}{8}+\frac{p}{2}=1$，即$p=\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得抛物线方程为${x}^{2}=\frac{1}{2}y$，
 联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y+1=0}\\{{x}^{2}=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，解得A（1，2），$B（-\frac{1}{4}，\frac{1}{8}）$．
设点M（x₀，y₀），由MA⊥MB，得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+（{y_0}-2）（{y_0}-\frac{1}{8}）=0$，
将${y}_{0}=2{{x}_{0}}^{2}$代入上式得，$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+4（{x_0}-1）（{x_0}+1）（{x_0}+\frac{1}{4}）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
又x₀≠1且${x_0}≠-\frac{1}{4}$，得$1+4（{x_0}+1）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
解得x₀=0或${x_0}=-\frac{3}{4}$，
∴点M的坐标为（0，0）（舍去）或$（-\frac{3}{4}，\frac{9}{8}）$．
在△MAB中，|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）^{2}+（2-\frac{1}{8}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{8}$．
M到直线3x-2y+1=0的距离d=$\frac{|3×（-\frac{3}{4}）-2×\frac{9}{8}+1|}{\sqrt{13}}$=$\frac{7}{2\sqrt{13}}$．
∴△MAB的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{13}}{8}×\frac{7}{2\sqrt{13}}$=$\frac{35}{32}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与抛物线位置关系的应用，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．