Question

已知向量，，且．
求及；
若的最小值是，求实数的值；
设，若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或．

解析试题分析：（1）根据已知条件及平面向量的坐标表示与模的坐标表示，
可以得到；
由（1）可得，原问题等价为求使的最小值为的的值，这是一个二次函数与三角函数的复合函数，需分别讨论以下三种情况：①，②，③下取得最小值的情况，从而可以得到；（3）当时，，根据正弦函数在及上取值的对称性，设，要保证题中方程有两个不同的解，必须保证方程，在仅有一根或有两个相等根，由一元二次方程根的分布，可得或．
（1）∵，，

∴
∵， ∴ ∴      4分
（2）由（1）得，即
∵， ∴
①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾．
②当时，当且仅当时，取最小值
由已知得，解得
③当时，当且仅当时，取得最小值．
由已知得，解得，这与相矛盾．
综上所述，为所求．          9分；
根据正弦函数在及上取值的对称性，因此设问题等价于方程，在仅有一根或有两个相等根，∴或∴或
综上，的取值范围是：或      14分．
考点：1．平面向量数量积与模的坐标表示；2．二次函数与三角函数综合；3．一元二次方程根的分布．