【题目】已知圆的任意一条切线l与椭圆
都有两个不同交点A,B(O是坐标原点)
(1)求圆O半径r的取值范围;
(2)是否存在圆O,使得恒成立?若存在,求出圆O的方程及
的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见详解
【解析】
(1)圆的中心是原点,椭圆的短半轴长为
,根据圆和椭圆的位置关系分析即得;(2)当圆的切线的斜率存在时,设
,圆的切线为
,与
联立,可得
,根据韦达定理和
,可得
和
的关系式,再由圆心到切线
的距离等于半径,可得
,解出
,即得;当切线斜率不存在时,可得上述圆的切线,进而求出切点,验证满足
即可,故使得
恒成立的圆存在;当切线斜率存在且不等于
时,则有
,由韦达定理和基本不等式可得
的最大值,当切线斜率不存在或等于
时,可知
的值,选两者中的最大值,再由
,计算即得.
(1)当时,圆
在椭圆内部,切点在椭圆内,圆的每一条切线都过椭圆内部的点,切线与椭圆总有两个不同交点,满足题意;当
时,圆的切线
和
都和椭圆最多只有一个公共点,不满足题意;
故的取值范围是
.
(2)当圆的切线的斜率存在时,设圆的切线为,设
,由
消去
得:
,则
,
,则
,由
得
,即
,
,又由
与圆
相切得
,即
,解得
,此时圆
的方程为
.
当切线斜率不存在时,上述圆的切线为或
,这两条切线与椭圆的交点为
,
或
,
,也满足
,故满足条件的圆
存在,其方程为
.
当切线斜率存在且不等于时,因为
,当且仅当
时取等号;
当切线斜率不存在或等于时,
,则
,又
,故
,则
.
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【题目】下列四个命题:
①经过定点的直线都可以用方程
表示;
②经过定点的直线都可以用方程
表示;
③不经过原点的直线都可以用方程表示;
④经过任意两个不同的点、
的直线都可以用方程
表示,
其中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】为美化城市环境,相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新,为保障市民安全,施工队对广场进行围挡施工.如图,围挡经过直径的两端点A,B及圆周上两点C,D围成一个多边形ABPQR,其中AR,RQ,QP,PB分别与半圆相切于点A,D,C,B.已知该半圆半径OA长30米,∠COD为60°,设∠BOC为.
(1)求围挡内部四边形OCQD的面积;
(2)为减少对市民出行的影响,围挡部分面积要尽可能小.求该围挡内部多边形ABPQR面积的最小值?并写出此时的值.
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【题目】已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.
(1)若a=-1,解方程f(x)=1;
(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x-3对任意x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】青岛市黄岛区金沙滩海滨浴场是一个受广大冲浪爱好者喜爱的冲浪地点.已知该海滨浴场的海浪高度是时间t(
,单位:小时)的函数,记作
.经长期观察,
的曲线可近似地看成是函数
的图象,其中
.用“五点法”函数
在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)中的结论,判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者进行运动?
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩
进行分析.下面是该生7次考试的成绩.
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;
(2)已知该生的物理成绩与数学成绩
是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议.
参考公式:方差公式:,其中
为样本平均数.
,
。
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【题目】袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】从代号为A、B、C、D、E的5个人中任选2人
(1)列出所有可能的结果;
(2)若A、B、C三人为男性,D、E两人为女性,求选出的2人中不全为男性的概率.
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