Question

已知函数f（x）=x²+mx+3-2m，若函数f（x）在区间[-1，1]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：当m=0时，经检验不满足条件．当f（x）在[-1，1]上有一个零点时，求出m的值．当f（x）在[-1，1]上有两个零点时，求出m的取值范围，再取并集即得所求．

解答： 解：当m=0时，函数f（x）=x²+3，在区间[-1，1]上没有零点，不满足条件，故舍去．
当f（x）在（-1，1）上有一个零点时，
此时f（-1）•f（1）=（4-3m）（4-m）≤0
解得

4

3

≤m≤4．
或

△=m2-4(3-2m)=0 -1≤- m 2 ≤1

，
解得：m=-4+2

7

当f（x）在[-1，1]上有两个零点时，
此时

△=m2-4(3-2m)＞0 -1≤- m 2 ≤1 f(-1)≥0 f(1)≥0

，
解得-4+2

7

＜m＜

4

3

，
综上可得，实数m的取值范围[-4+2

7

，4]．

点评：本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．