Question

9．已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，2]时，求f（x）的值域；
（3）若关于x的不等式f（x）-k≥0（0≤x≤2）恒成立，求实数k的取值范围；
（4）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由导函数大于0求得x的范围得原函数的增区间，由导函数小于0求得x的范围得原函数的减区间；
（2）由（1）可得f（x）在[0，2]上的单调性，求出函数的极值及端点值得值域；
（3）分离参数k，由（2）中函数的最小值得答案；
（4）由（1）可得，若x₁，x₂∈[-1，1]，有f（1）≤f（x₁）≤f（-1），即-2≤f（x₁）≤2，-2≤f（x₂）≤2，从而求得-4≤f（x₁）-f（x₂）≤4，结论得证．

解答 （1）解：由已知f（x）=x³-3x，得f′（x）=3x²-3，
由 f′（x）=3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，由 f′（x）=3x²-3＜0，得-1＜x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）；
（2）解：由（1）可知，当x∈[0，1]时，f（x）单调递减，x∈[1，2]时，f（x）单调递增，f（x）的最小值为f（1）=-2．
又∵f（0）=0，f（2）=2，∴f（x）的最大值为f（2）=2．
∴当x∈[0，2]时，函数f（x）的值域为[-2，2]；
（3）解：关于x的不等式f（x）-k≥0（0≤x≤2）恒成立，
即当x∈[0，2]时，k≤f（x）恒成立，k应小于等于函数f（x）在区间[0，2]上的最小值，
∴k≤-2；
（4）证明：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
∴若x₁，x₂∈[-1，1]，有f（1）≤f（x₁）≤f（-1），即-2≤f（x₁）≤2，
同理，-2≤f（x₂）≤2，
∴-4≤f（x₁）-f（x₂）≤4，即：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．