Question

4．已知函数f（x）=x³-ax-1．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由导函数在（-∞，+∞）上大于等于0恒成立，分离参数a得答案；
（2）求出原函数的导函数，分离参数a，求得3x²在（-1，1）上的最大值得答案．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-a，
要使f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，需3x²-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即a≤3x²在（-∞，+∞）上恒成立，∴a≤0．
因此当 f（x）在（-∞，+∞） 上单调递增时，a 的取值范围是（-∞，0]；
（2）若f（x）在（-1，1）上单调递减，
则对于任意 x∈（-1，1），不等式f′（x）=3x²-a≤0 恒成立，即 a≥3x²，
又 x∈（-1，1）时，3x²＜3，∴a≥3，
∴函数 f（x）在（-1，1）上单调递减，实数a的取值范围是[3，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法及分离变量法，是中档题．