Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），|

b

|=1，且a与b满足|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k＞0）．
（1）试用k表示

a

•

b

，并求

a

•

b

的最小值；
（2）若0≤x≤π，

b

=（

1

2

，

3

2

），求

a

•

b

的最大值及相应的x值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用已知条件，通过模的求法，即可用k表示

a

•

b

，利用基本不等式求

a

•

b

的最小值；
（2）若0≤x≤π，

b

=（

1

2

，

3

2

），利用

a

•

b

以及三角函数化简为正弦函数的形式，通过位置的范围求出函数的最大值及相应的x值．

解答： 解（1）∵|

a

|=1，|

b

|=1，
由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
得（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，
整理得

a

•

b

=

k2+1

4k

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

2

，
当且仅当k=1时，

a

•

b

取最小值

1

2

．
（2）由

a

•

b

=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin（x+

π

6

）．
∵0≤x≤π，∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1．当x=

π

3

时，

a

•

b

取最大值为1．

点评：本题考查向量的模以及数量积的运算，两角和与差的三角函数以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．