Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x2-2x，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由f′（x）=3x²-x-2，利用导数性质求出x∈[-1，2]时，f（x）_max=f（2）=2，由对于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立，得m＞f（x）_max=2，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x³-

1

2

x²-2x，
∴f′（x）=3x²-x-2，
由f′（x）=0，得x=-

2

3

，或x=1，
∵f（-1）=

1

2

，f（1）=-

3

2

，f（-

2

3

）=

22

27

，f（2）=2，
∴x∈[-1，2]时，f（x）_max=f（2）=2，
∵对于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立，
∴m＞f（x）_max=2，
∴实数m的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．