Question

设椭圆+=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁(－2,0),左准线l₁与x轴交于点N(－3,0),过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求直线l和椭圆的方程；
(2)求证:点F₁(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.

Answer 1

(1)椭圆方程为+=1.
(2)见解析

可知直线l:y=(x+3).
由c=2及=3,解得a²=6,
∴b²=6－2²=2.∴椭圆方程为+=1.
(2)证明:联立方程组       
将②代入①,整理得2x²+6x+3=0.
设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=－3,x₁x₂=.
方法一:k·k=·=
===－1,
∴F₁A⊥F₁B,即∠AF₁B=90°.
∴点F₁(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.
方法二:·=(x₁+2,y₁)·(x₂+2,y₂)=(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂
=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+［x₁x₂+3(x₁+x₂)+9］
=x₁x₂+3(x₁+x₂)+7=0,
∴F₁A⊥F₁B,则∠AF₁B=90°.
∴点F₁(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.