Question

已知F₁、F₂分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，过点F₁的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=
（I）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；
（II）求证：直线MQ过定点．

Answer 1

解：（I）令P（x₁，y₁），，Q（x₂，y₂），由题意，可设抛物线方程为 y²=2px
由椭圆的方程可得F₁ （-1，0），F₂ （1，0 ）故p=2，曲线C的方程为 y²=4x，
由题意，可设PQ的方程 x=my-1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲线C的方程 化简可得 y²-4my+4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4． 又 =，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，
又 =λ++2=4m²．λ∈[2，4]，∴2+≤λ+≤4+，≤m²≤，
∴≤≤∴直线L的斜率k的取值范围为[，]．
（II）由于P，M关于X轴对称，故M（x₁，-y₁），，
∵-=+==0，
∴M、Q、F₂三点共线，故直线MQ过定点 F₂ （1，0 ）．
分析：（I）求出曲线C的方程，把PQ的方程 x=my-1 （m＞0）代入曲线C的方程 化简可得 y²-4my+4=0，利用根与系数的关系 及 =，可得 =λ++2=4m²，据λ∈[2，4]，求得直线L的斜率 的范围．
（II）根据-=0，可得 M、Q、F₂三点共线，故直线MQ过定点 F₂ （1，0 ）．
点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程、简单性质，三点共线的条件，根据题意，得到2+≤λ+≤4+，是解题的关键．