Question

14．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m²|+m²，且f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是$[-\sqrt{5}\;，\;\sqrt{5}]$．

Answer 1

分析 由已知中t低调函数的定义，结合定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m²|+m²，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，构造一个不等式组，结合绝对值的几何意义，将不等式转化为一个关于m的二次不等式，求解不等式得答案．

解答 解：若f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，
则当x∈[0，+∞）时，f（x+10）≤f（x），
即-|x+10-m²|+m²≤-|x-m²|+m²
即|x+10-m²|≥|x-m²|，
则m²≤5，
解得m∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]．
故答案为：[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知中t低调函数的定义，构造不等式是解答本题的关键，是中档题．