Question

6．已知焦点在x轴上的双曲线的离心率为$\sqrt{3}$，虚轴长为2$\sqrt{2}$．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，若OA⊥OB，求m的值．（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （1）设出双曲线的方程，由离心率公式和a，b，c的关系，求得a，b，即可得到所求方程；
（2）联立直线方程和双曲线的方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和直线垂直的条件，计算即可得到所求m的值．

解答 解：（1）设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得2b=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c²=a²+b²，
解得a=1，b=$\sqrt{2}$，
故双曲线的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）联立直线方程与双曲线方程得：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
消去y，可得x²-2mx-2-m²=0，
判别式△=4m²+4（2+m²）＞0，恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理知：x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2-m²，
由OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
由y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
可得2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
即-2m²-4+2m²+m²=0，解得m=±2，成立．
故m的值为±2．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的运用，考查直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．