Question

（本小题满分14分）

设是函数的一个极值点．

（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）当时，单增区间为：；单减区间为：、；

当时，单增区间为：；单减区间为：、；

（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意得：，可得，

有且；

得，

由于是函数的一个极值点得到，即

确定与的关系式讨论（1）当时；（2）当时的单调区间；

（2）由（1）知在上的值域为，在上的值域为

由于，必须且只须即可.

试题解析：（1）∵

∴

由题意得：，即，

∴且

令得，

∵是函数的一个极值点

∴，即

故与的关系式

当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；

当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；

（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，

在上的值域为

易知，在上是增函数

在上的值域为

由于

又要存在存在，使得成立，

必须且只须，解得

所以，实数的取值范围为.

考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值、最值；2.函数的值域；3.转化与化归思想.