Question

【题目】已知，为椭圆E：的左、右焦点，过点的直线l与椭圆E有且只有一个交点T．

（1）求面积的取值范围．

（2）若有一束光线从点射出，射在直线l上的T点上，经过直线l反射后，试问反射光线是否恒过定点？若是，请求出该定点；若否，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定点

【解析】

（1）由题意设直线l的方程为：，将代入，得，由，解得，由韦达定理得切点T的，的面积，根据m的范围即可求出；

（2）由对称性和（1）得，不妨取切点，则直线l：，设关于l对称的点为，经计算得，，直线恒过定点，即可得答案.

（1），∴直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为l：，

将代入，得，

因为直线l与椭圆E有且只有一个交点T，所以，解得，

此时求得，由，得，

，所以切点T的坐标为，又，，

所以的面积，又，，．

（2）由对称性和（1）得，不妨取切点，则直线l：，设关于l对称的点为，

则，，．

，，

故直线的斜率为，

所以直线的方程为，即恒过定点，

所以光线被直线l反射后恒过定点．