Question

16．对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x₁，x₂，使得x_if（x_i）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$具有性质P，则实数a的取值范围为$（-\frac{1}{e}，0）$．

Answer 1

分析 由题意将条件转化为：方程xe^x=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xe^x并求出g′（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意知：若f（x）具有性质P，
则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，
∵$f（x）=\frac{{e}^{x}}{a}$，∴$x•\frac{{e}^{x}}{a}=1$，
即方程xe^x=a在R上有两个不同的实数根，
设g（x）=xe^x，则g′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
由g′（x）=0得，x=-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，+∞）上递增，
∴当x=-1时，g（x）取到最小值是g（-1）=$-\frac{1}{e}$，
∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，
∴当方程xe^x=a在R上有两个不同的实数根时，
即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，
由图得$-\frac{1}{e}＜a＜0$，
∴实数a的取值范围为$（-\frac{1}{e}，0）$，
故答案为：$（-\frac{1}{e}，0）$．

点评 本题是新定义题，考查导数与函数单调性的关系，方程根的问题转化为函数图象的交点问题，以及转化思想，数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力．