Question

7．已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2-|x-1|有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由绝对值的几何意义知$|x-\frac{a}{2}|+|{x-1}|≥|\frac{a}{2}-1|$，由不等式f（x）≤2-|x-1|有解，可得$|\frac{a}{2}-1|≤1$，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜2时，（x）在$（-∞，\frac{a}{2}）$单调递减，在$[\frac{a}{2}，+∞）$单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．

解答 解：（Ⅰ）由题f（x）≤2-|x-1|，即为$|x-\frac{a}{2}|+|{x-1}|≤1$．
而由绝对值的几何意义知$|x-\frac{a}{2}|+|{x-1}|≥|\frac{a}{2}-1|$，-------（2分）
由不等式f（x）≤2-|x-1|有解，∴$|\frac{a}{2}-1|≤1$，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．-------（5分）
（Ⅱ）函数f（x）=|2x-a|+|x-1|的零点为$\frac{a}{2}$和1，当a＜2时知$\frac{a}{2}＜1$，
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x+a+1（x＜\frac{a}{2}）}\\{x-a+1（\frac{a}{2}≤x≤1）}\\{3x-a-1\;\;\;\;\;（x＞1）}\end{array}}\right.$-------（7分）
如图可知f（x）在$（-∞，\frac{a}{2}）$单调递减，在$[\frac{a}{2}，+∞）$单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{2}）=-\frac{a}{2}+1=3$，得a=-4＜2（合题意），即a=-4．-------（10分）

点评 本题考查绝对值的几何意义，考查函数的单调性与最小值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．