Question

12．对于每个实数x，设f（x）取$y=2\sqrt{x}$，y=|x-2|两个函数中的较小值．若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x₁、x₂、x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A． （2，$6-2\sqrt{3}$）
• B． （2，$\sqrt{3}+1$）
• C． （4，$8-2\sqrt{3}$）
• D． （0，$4-2\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 根据函数f（x）的定义作出函数f（x）的图象，根据函数图象有三个交点，确定三个交点之间的关系即可得到结论．

解答 解：由2$\sqrt{x}$=|x-2|，
平方得4x=x²-4x+4，
即x²-8x+4=0，
解得x=4+2$\sqrt{3}$或x=4-2$\sqrt{3}$，
设x₁＜x₂＜x₃，
作出函数f（x）的图象如图：

则0＜x₁＜4-2$\sqrt{3}$，x₂与x₃，关于x=2对称，
则x₂+x₃=4，
则x₁+x₂+x₃=x₁+4，
∵0＜x₁＜4-2$\sqrt{3}$，
∴4＜4+x₁＜8-2$\sqrt{3}$，
即x₁+x₂+x₃的取值范围为（4，8-2 $\sqrt{3}$），
故选：C

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据定义作出函数的图象，结合函数的对称性是解决本题的关键．