Question

17．已知数列{a_n}满足：a_n+1=a_n（1-2a_n+1），a₁=1，数列{b_n}满足：b_n=a_n•a_n+1，则数列{b_n}的前2017项的和S₂₀₁₇=$\frac{2017}{4035}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，代入b_n=a_n•a_n+1，再由裂项相消法求S₂₀₁₇ ．

解答 解：由a_n+1=a_n（1-2a_n+1），得a_n+1=a_n-2a_na_n+1，
∴a_n-a_n+1=2a_na_n+1，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$．
又a₁=1，∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$．
∴b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
则S₂₀₁₇=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{4033}-\frac{1}{4035}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4035}）=\frac{2017}{4035}$．
故答案为：$\frac{2017}{4035}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．