Question

19．设向量$\overrightarrow{OA}$=（1，-2），$\overrightarrow{OB}$=（a，-1），$\overrightarrow{OC}$=（-b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 利用向量共线定理可得：2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=（a-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-b-1，2），
∵A，B，C 三点共线，∴2（a-1）-（-b-1）=0，化为：2a+b=1．
又a＞0，b＞0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$=8，当且仅当b=2a=$\frac{1}{2}$时取等号．
故选：C．

点评 本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．