Question

设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁。

（Ⅰ）写出曲线C₁的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C₁关于点A（t/2,s/2）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明s=t₃/4-t且t≠0。

Answer 1

（Ⅰ）解：曲线C₁的方程为 y=(x-t)³-(x-t)+s。

（Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B₁(x₁,y₁)。设B₂(x₂,y₂)是B₁关于点A的对称点，则有

x₁+x₂/2=t/2, y₁+t₂/2=s/2。 ∴x₁=t-x₂, y₁=s-y₂。

代入曲线C的方程，得x₂和y₂满足方程： s-y₂=(t-x₂)³-(t-x₂)，

即 y₂=(x₂-t)³-(x₂-t)+s，可知点B₂(x₂,y₂)在曲线C₁上。

反过来，同样可以证明，在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上。

因此，曲线C与C₁关于点A对称。

（Ⅲ）证明：因为曲线C与C₁有且公有一个公共点，

所以，方程组 y=x₃-x, y=(x-t)³-(x-t)+s

有且公有一组解。 消去y，整理得

3tx₂-3t₂x+(t₃-t-s)=0， 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。

所以t≠0并且其根的判别式 △=9t₄-12t(t₃-t-s)=0。

即 t≠0, t(t₃-4t-4s)=0。 ∴s=t₃/4-t 且 t≠0。