Question

（本小题满分12分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过椭圆内一点作一条弦，使该弦被点平分，求弦所在直线方程.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：对于第一问，根据所给的双曲线的方程，可以得出焦点坐标，对应的离心率，所以可以求得所求的椭圆的离心率，从而得出对应的椭圆的a，进而求得椭圆的方程，对于第二问，涉及到椭圆的中点弦所在直线的方程问题，注意可以先将直线的斜率设出来，联立方程组，根据中点的坐标可以求得两根和，从而求k的值，也可以应用点差法求得斜率，应用点斜式方程直接得结果.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，双曲线的焦点坐标为，离心率为， 2分

设椭圆方程：，则

，， 4分

， 5分

椭圆方程为：. 6分

（Ⅱ）解法一：设，

为弦的中点，， 7分

由题意：，得

，

， 10分

此时直线方程为：，即，

故所求弦所在的直线方程为. 12分

解法二：由题意可知，直线斜率必存在.设所求直线方程为：，

由，得，（*） 8分

设， 为弦的中点，，

，， 10分

故所求弦所在的直线方程为：，即. 12分

考点：椭圆的方程，椭圆的中点弦所在直线的方程.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 考点3：双曲线的标准方程 考点4：双曲线的几何性质 试题属性

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