Question

9．在数列{a_n}中，${a_1}=3，{a_n}=\sqrt{{a_{n-1}}^s+t（n）}，{b_n}={a_n}+2$，n=2，3，…．
（1）若s=2，t（n）=n时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若s=1，t（n）=2时，求a₂，a₃，判断数列{a_n}的单调性并证明；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数M，对任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M？若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：a₁=3，${a}_{n}=\sqrt{{a}_{n-1}^{2}+n}$，平方可得：${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$=n．利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出．
（2）由a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，可得a₂=$\sqrt{5}$，a₃=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．由a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$＞0，两边平方可得：${a}_{n}^{2}={a}_{n-1}$+2，于是${a}_{n+1}^{2}={a}_{n}$+2．相减可得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，由a_n＞0，可得a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号，即可得出．
（3）由（2）可得：${a}_{n+1}^{2}={a}_{n}$+2，${a}_{n+1}^{2}-4$=a_n-2，因式分解为：（a_n+1+2）（a_n+1-2）=a_n-2，可知：a_n+1-2与a_n-2同号，可得：a_n-2＞0，$\frac{1}{{a}_{n}+2}$＜$\frac{1}{4}$，因此a_n+1-2$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），由n≥2时，（a_n+2）（a_n-2）=a_n-1-2，可得b_n=a_n+2=$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n}-2}$．可得b₂b₃…b_n=$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$．由a_n+1-2$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），n≥2时，可得：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|＜…＜$\frac{1}{{4}^{n-1}}|{a}_{1}-2|$=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$.$\frac{1}{{a}_{n}-2}$＞4^n-1，进而判断出结论．

解答 解：（1）由已知可得：a₁=3，${a}_{n}=\sqrt{{a}_{n-1}^{2}+n}$，平方可得：${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$=n．
∴${a}_{n}^{2}$=（${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$）+$（{a}_{n-1}^{2}-{a}_{n-2}^{2}）$+…+$（{a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}）$+${a}_{1}^{2}$=n+（n-1）+…+2+9=$\frac{n（n+1）}{2}$+8．
∴a_n=$\sqrt{\frac{{n}^{2}+n+16}{2}}$．
（2）由a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，可得a₂=$\sqrt{5}$，a₃=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．
由a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$＞0，两边平方可得：${a}_{n}^{2}={a}_{n-1}$+2，于是${a}_{n+1}^{2}={a}_{n}$+2．
相减可得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号，∵a₂-a₁=$\sqrt{5}$-3＜0，
∴a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n，
∴数列{a_n} 单调递减．
（3）由（2）可得：${a}_{n+1}^{2}={a}_{n}$+2，∴${a}_{n+1}^{2}-4$=a_n-2，因式分解为：（a_n+1+2）（a_n+1-2）=a_n-2，
可知：a_n+1-2与a_n-2同号，由a₁-2=3-2=1＞0，可得：a_n-2＞0，即a_n+2＞4，∴$\frac{1}{{a}_{n}+2}$＜$\frac{1}{4}$，
∴a_n+1-2$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），∵n≥2时，（a_n+2）（a_n-2）=a_n-1-2，∴b_n=a_n+2=$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n}-2}$．
则b₂b₃…b_n=$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{2}-2}$•$\frac{{a}_{2}-2}{{a}_{3}-2}$•…•$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$．由a_n+1-2$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），n≥2时，
可知：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|$＜\frac{1}{{4}^{2}}$|a_n-2-2|＜…＜$\frac{1}{{4}^{n-1}}|{a}_{1}-2|$=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-2}$＞4^n-1，若存在常数M，对任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M．则M＞0，4^n-1≤M，而当n＞$[\frac{lnM}{ln4}]$+2时，有4^n-1≥M恒成立，故不存在常数M，对任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、不等式的性质与解法、放缩法、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．