Question

13．已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，且满足：①$\frac{f（x）-f'（x）}{x-1}＞0$；
②e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0，设 a=ef（1），b=f（2），c=e³f（-1）．
则a，b，c的大小顺序是a＞b＞c．

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-2}}$，对函数g（x）求导，分析其单调性，利用函数的单调性研究函数值的大小，即可得到结论．

解答 解：根据题意，设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-2}}$，则其导数g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x-2}-f（x）{e}^{x-2}}{（{e}^{x-2}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x-2}}$，
由①知，当x＞1时，f（x）-f′（x）＞0，当x＜1时，f（x）-f′（x）＜0，
则当x＞1时，g′（x）＜0，此时函数递减，当x＜1时，g′（x）＞0，此时函数递增，
则a=ef（1）=$\frac{f（1）}{{e}^{1-2}}$=$\frac{f（1）}{{e}^{-1}}$=g（1），b=f（2）=$\frac{f（2）}{{e}^{2-2}}$=g（2），c=e³f（-1）=$\frac{f（-1）}{{e}^{-1-2}}$=g（-1），
∴g（-1）＜g（1），g（1）＞g（2），则g（1）最大，即a最大．
由e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0得f（2+x）=f（-x）•e^2+2x，
则g（2）=f（2）=f（0）e²=$\frac{f（0）}{{e}^{0-2}}$=g（0），
∵g（0）＞g（-1），
∴g（2）＞g（-1），即a＞b＞c，
故答案为：a＞b＞c．

点评 本题考查利用函数的导数与函数的单调性的关系，关键是恰当构造函数g（x），并分析g（x）的奇偶性、单调性．