Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5x，x＞0}\\{-2，x=0}\\{（x+3）^{\frac{1}{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，b=f（f（f（0））），若y=x^a-b是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则自然数a=1或3．

Answer 1

分析 根据题意，由函数的解析式可得b的值，结合幂函数的性质分析可得a-b＜0且为偶数，又由b=5且a为自然数，分析可得a的值．

解答 解：根据题意，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5x，x＞0}\\{-2，x=0}\\{（x+3）^{\frac{1}{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，
则b=f（f（f（0））=f（f（-2））=f（1）=5，
若y=x^a-b是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则有a-b＜0且为偶数，
又由b=5且a为自然数，
则a=1或3，
故答案为：1或3．

点评 本题考查幂函数的性质，关键是掌握幂函数的单调性．奇偶性与指数的关系．