Question

【题目】已知分别是正四面体的棱上的点，且，若，,则四面体的体积是_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意画出图形，设PD=x，PE=y，PF=z，由余弦定理得到关于x，y，z的方程组，求解可得x，y，z的值，然后分别求出三角形PDE的面积及F到平面PDE的高，代入棱锥体积公式得答案．

如图，

设PD=x，PE=y，PF=z，则

∵DE=2，DF=EF=，

∴由余弦定理得，x2+y2﹣2xy=4①

y2+z2﹣2yz=7②

z2+x2﹣2zx=7③

③﹣②得，x2﹣y2=xz﹣yz，

即（x+y）（x﹣y）=z（x﹣y），

∵x≠y，则z=x+y，

代入②，得x2+y2+xy=7，

又x2+y2﹣xy=4，不妨设x＞y，

解得，x=，y=，z=．

则=，

F到平面PDE的距离d=．

∴VP﹣DEF=．

故答案为：．