Question

（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD中,

（1）如果E、F分别为AB、BC中点, 分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起, 使A、B、C重合于点P.证明: 在折叠过程中, A点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.

（2）如果F为BC的中点, E是线段AB上的动点, 沿DE、DF将△AED、△DCF折起,使A、

C重合于点P, 求三棱锥P－DEF体积的最大值.

 

Answer 1

（1）证明见解析，A在以M为圆心, AM为半径的圆上.（2）

【解析】

试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.

（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.

试题解析：

（1）解：∵E、F分别为正方形边AB、BC中点, 在平面图中连接AF, BD交于O点, AF交DE于M, 可知O

为三角形DEF的垂心.三角形AED在沿DE折叠过程中, AM始终垂直于DE, ∴A在过M且与DE垂直的

平面上, 又AM＝, ∴A在以M为圆心, AM为半径的圆上.

（2）∵PD⊥PF, PD⊥PE, ∴PD垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF面积最大时, 三棱锥P－DEF体积最大.

设PE＝t,,,

, 当时.

考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算