Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D，且这个几何体的体积为。

（1）求A₁A的长；
（2）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵·

∴AA₁=4。
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，连接A₁P，则A₁P⊥C₁D。 ∵A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，
而QP∥CB，CB∥A₁D₁，
∴QP∥A₁D₁
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQD₁
又∵A₁P平面A₁PQD₁，
∴A₁P⊥C₁D
易知△D₁C₁Q∽△C₁CD，
∴
∴C₁Q=1
又∵PQ∥BC，
∴
∵四边形A₁PQD₁为直角梯形，且高
∴。