Question

定长为3的线段AB的端点在抛物线y²=x上移动，求线段AB中点到y轴的距离的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出 

|AF|+|BF|

2

的最小值即可．

解答： 解：设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） 
抛物线y²=x的线准线x=-

1

4

，
所求的距离为：
S=|

x1+x2

2

|
=

x1+ 1 4 +x2+ 1 4

2

-

1

4

=

|AF|+|BF|

2

-

1

4

（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）
∴

|AF|+|BF|

2

-

1

4

≥

|AB|

2

-

1

4

=

3

2

-

1

4

=

5

4

，
故答案为：

5

4

．

点评：本小题主要考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．