Question

对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈[a，b]均有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（ax+1）与g（x）=log₂x在区[1，2]上是接近的，则实数a的取值范围是（　　）

• A、?[0，1]
• B、[2，3]
• C、[0，2）
• D、（1，4）

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：新定义,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由已知可得，f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|=|log₂

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]，从而有

1

2

≤a+

1

x

≤2在[1，2]上恒成立，只要求出函数a+

1

x

的最值，可求a的取值范围．

解答： 解：由已知可得，当x∈[1，2]时，|f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|≤1，
即|log₂

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]，
从而有，

1

2

≤

ax+1

x

≤2，x∈[1，2]，
即

1

2

≤a+

1

x

≤2在[1，2]上恒成立．
而a+

1

x

在[1，2]上递减，即有a+

1

2

≤a+

1

x

≤a+1．
则有

1

2

≤a+

1

2

，且2≥a+1，
解得0≤a≤1．
故选A．

点评：本题以新定义为切入点，主要考查了函数的恒成立问题与函数最值的相互转化，解题中要注意在得到

1

2

≤a+

1

x

≤2在[1，2]上恒成立时，要注意对函数a+

1

x

的最值求解是解决本题的关键．