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    【题目】已知函数.

    判断的奇偶性，并作出函数的图像；

    关于的方程恰有个不同的实数解，求的取值范围.

    【答案】（1）是偶函数；（2）

    【解析】

    （1）由得，对需分四个范围进行讨论，分别是，，，，可得函数的解析式，再做出其图像；

    （2）令，由函数的图像得出，则关于的方程需有两个根，并且一根为，另一根在之间，再根据一元二次方程的根的分布得出不等式组，可得解.

    由题意得函数的定义域为，

    由，得是偶函数，

    因为，所以对分四个范围进行讨论，

    当时，，所以；

    当时，，所以；

    当时，，所以；

    当时，，所以；

    所以函数，

    关于的方程恰有个不同的实数解，

    即有个不同的解，数形结合可知必有和，，

    令，则关于的方程有两个根，并且一根为，另一根在间，则需满足

    所以的取值范围是.

    故得解.

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