Question

【题目】在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.

（1）当时，求证：；

（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析: (1) 当时，点是的中点,由已知证出,根据面面垂直的性质定理证得平面,进而证得结论;(2) 以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角的公式求出结果.

试题解析:

（1）当时，点是的中点.

∴，.

∵，∴.

∵，，，

∴.

∴.

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

∵平面，∴.

（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.

则，，.

取的中点，

∵，∴，

∴ 易证得平面，

∵，∴，∴.

∴，，.

设平面的一个法向量为，

则

令，则.

设与平面所成的角为，

则

，

解得或（舍去）

∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.