Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）由题知，，对a分类讨论，解关于的不等式，即可得函数的单调区间；

（2） .即，

设，讨论a的取值范围，明确函数的最小值与零的关系即可.

详解：（1）由题知， .

当时，令，得或.

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.

当时，令，得.

所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.

（2） .

依题意，当时，，

即当时，.

设，

则 ，

设，

则.

①当时，

当时，，从而，

∴在区间上单调递增，

又∵，

∴当时，，从而当时，，

∴在区间上单调递减，

又∵，

从而当时，，

即.

于是当时，；

②当时，令，得，

∴，

当时，，

∴在区间上单调递减，

又∵，

∴当时，，

从而当时，，

∴在区间上单调递增，

又∵，

从而当时，，

即，不合题意.

综上所述，实数的取值范围为.